gebe
  1. Bilge Gökçen

    Bilge Gökçen Yeni Üye Üye

    Kayıt:
    27 Ağustos 2007
    Mesajlar:
    13.023
    Beğenilen Mesajlar:
    108
    Ödül Puanları:
    0

    Matematik ve Hata

    Konu, 'Kitap Kurdu' kısmında Bilge Gökçen tarafından paylaşıldı.

    [​IMG] Eminim ki bir çoğunuz, lokantada içtikleri çorba sonrasında hesabı karıştıran üç kişinin macerasını duymuşsunuzdur.

    Üç arkadaş lokantaya girerler ve garsondan çorba isterler. Çorbalarını içtikten sonra sıra hesap ödemeye gelir. Hesabı ödemek için herkes onar lira verir. Garson para üstü olarak beş lira getirir. İki lirasını garsona bahşiş olarak bırakan üçlü, birer liralarını ceplerine atarlar. Sonra yaptıkları hesapta ise, çorbalara dokuzar lira ve garsona iki lira verdiklerini, bu paranın toplamının 29 lira olduğunu görürler. Peki o zaman bir lira nerededir?

    Problemin bu şekildeki çözümünde bir sorun olduğu ortada. Peki ama sorun nerede?
    3 çorbanın 25 liraya mal olduğu düşünüldüğünde, çorba fiyatının 25/3=8.3333... olduğu görülebilir. Lokanta sahibinin çorba fiyatı olarak neden bir devirli sayı kullandığı başka bir sorun belki ama biz bununla ilgilenmiyoruz. Gelen para üstünün tam olarak paylaşımı için iki lirayı garsona bahşiş vermeleri ve geriye kalan 3 lirayı da paylaşmaları sonucunda lokantaya gitmek çorbacı üçlünün her birine 9 liraya mal olmuştur. Ceplerine attıkları birer lira hesaba katıldığında hesap tamamdır. O halde problemin yukarıdaki biçimiyle hata nerededir.

    Hata garsona bırakılan bahşiş ile birlikte kişi başına 9 liraya mal olan hesabı, yanlış kurarak çözmeye çalışmadadır yani problemin kurulmasında bir ALDATMACA söz konusudur. Ceplerinde bulunan üç lira yerine, hesaba katılan garson bahşişi iki lirayı toplama katma ile bir yanlışlık yapılmaktadır.
    Matematikte problemi yanlış kurarak buna benzer birçok hata yapılabilir. Böylesi aldatmacaların dışında matematik ve hata ayrılmaz bir ikili oluştururlar. Matematik doğası gereği hata yapmaya çok elverişlidir.

    Matematiksel hatalar, çoğu zaman matematiğe ve onun araçlarına yabancı olanlarca yapılsa da, tanınan matematikçilerinde hata yaptığı görülür. Özellikle sonsuz seriler, sonsuz çarpımlar, [​IMG] kavram ve simgelerin yeni kullanıldığı ve üzerlerinde çalışmaların yapıldığı dönemde bu hatalara daha çok rastlanılır.

    Piza`li Papaz ve matematikçi Guido Grandi (1671-1742), gül ve çiçeklere benzeyen eğriler üzerinde çalıştı. n pozitif bir sayı olmak üzere, kutupsal koordinatlara göre denklemi r=asinnx ve r=acosnx olan eğriler, "Grandi`nin gülleri" olarak bilinir.

    Grandi, 1-1+1-1+1… sonsuz serisinin toplamı konusunda Alman düşünür Leibniz`le yazışmıştı. Grandi bu yazışmalarda, bu sonsuz toplamda terimleri ikililer halinde birleştirerek
    (1-1)+(1-1)+….​
    şeklinde sıfır elde ediyordu. 1/(x+1) fonksiyonunun sentetik bölümünden bulunan
    [​IMG]
    sonsuz serisinde x=1 konulduğunda aynı sonsuz toplam 1/2 oluyordu.
    Böylece, Grandi
    1-1+1-1+……=1/2
    sonucuna ulaşan eşitliğin, Hıristiyanlığın gizemiyle kıyaslanacak bir paradoks oluşturduğunu öne sürüyordu.
    Benzer şekilde, 1/(x+1) fonksiyonunun integralini düşünerek, Leibniz ve Jean Bernoulli (l667-1748), negatif sayıların logaritması üzerine yazıştılar. 1/(x+1) fonksiyonunun integrali alınarak

    [​IMG]
    elde edilen

    [​IMG]

    serisi, x < -1 değerleri için ıraksak olduğundan, Leibniz negatif sayıların logaritmasının olmadığını ileri sürüyordu; ama Bernoulli logaritma fonksiyonu grafiğinin y-eksenine göre simetrik olduğunu ve

    [​IMG]

    özelliğinin sağlandığını söyleyerek, ln(-x)=ln(+x) eşitliğinin doğruluğuna inanıyordu.
    Negatif sayıların logaritmasının doğası, bu iki yazışmada da çözülemedi. Jean Bernoulli, 18. yüzyılın ilk yarışında ki yazışmalarında bu konudaki çalışmalara teşvikini sürdürdü. 1748 yılında ölümünden bir süre önce, öğrencisi Euler (1707-1783), negatif sayıların logaritmasını da içeren bir çok analiz konularında çözümleri ortaya koyuyordu.
    ln(-x)=ln(+x) eşitliği, Euler`le aynı yıl ölen , Fransız matematikçi Jean LeRond d`Alembert’i de meşgul etti. Euler, Berlin`de çalışmalarını sürdürüyor iken, d`Alembert (1707-1783) Paris`te idi. Aralarında bu konuyla ilgili yazıştılar. Bu yazışmaların birinde, Euler, Jean Bernoulli`nin ortaya attığı

    [​IMG]

    çıkarımı da dahil olmak üzere, negatif sayıların logaritmasının konumunu doğru olarak d`Alembert`e yazıyordu. Daha önce Euler`in öne sürdüğü,

    [​IMG]

    formülüne yabancı olmayan, Jean Bernoulli ve diğer matematikçilere sonuç aşikar görünüyordu. Bu özellik -radyan ölçümünde- bütün açılar için doğruydu.

    [​IMG]alındığında, [​IMG] olarak bulunuyordu, böylece de [​IMG] eşitliği doğrulandı. Negatif sayıların logaritması, Bernoulli ve d`Alembert`in düşündüğü gibi gerçek değil sanal formdaydı.

    Fransız matematikçi Leonard Euler, problemlere yaklaşımı ve çözümlerinde kullandığı yöntemle, yaşadığı dönemde en çok eleştirilere uğrayan matematikçi oldu. Özellikle sonsuz toplam ve çarpımlarda, problemin tehlikelerine aldırış etmeden hareket ediyordu. Sonsuz serilerle ilgili işlemleri büyük bir serbestlikle ele aldı.

    [​IMG]

    açılımından, x=1 alarak

    [​IMG]

    sonucuna ulaştı, buradan da

    [​IMG]

    elde ediyordu.

    Euler`in "Introductio" adlı eseri böyle serilerle ve sonsuz çarpımlarla doludur.

    [​IMG]
    ve
    [​IMG]

    bunlardan bazılarıdır.

    Euler, sonsuz serilerin toplamında

    [​IMG]
    [​IMG]

    gibi bir hata yaparak

    [​IMG]
    ve
    [​IMG]

    eşitliklerini yazıyor, bu iki eşitliğin toplamlarını alarak ta
    [​IMG]

    gibi kabul edilemez bir hata yapıyordu.

    Matematik tarihi boyunca belki de en ilginç hatayı İngiliz matematikçi Wiliam Shanks yapmıştır. Shanks 20 yıl boyunca yaptığı hesaplamalar sonrası p sayısını 707. ondalık basamağa kadar buldu; ama 528. basamakta, ancak 1945 yılında keşfedilen, bir hata yapmıştı.

    Bir matematik probleminin çözümünde şekil hataları, işlem hataları, varsayımların eksik olması, tanımların ya da önermelerin yanlış ya da eksik kullanımı, problemin çözümünün yanlış olmasına neden olurlar.

    * Bu yazı Nurettin Çalışkan`ın geçen ay Pan Yayınevi`nden yayımladığı Matematik ve Hata adlı kitabın önsözüdür.

     
Matematik ve Hata konusuna benzer diğer içeriklerimiz
  1. Matematik

    Matematik

    Hesap öğreticisi görmek hayır ve şerrin fazlalaşmasına, tefrikaya; Bazen bu rüya akla ve hikteme, Matematik öğrenmek ise akıllı ve hikmet ehli biri olmaya delalet eder.Kişinin hayatının akışı ile ilgili bilgiler verir.Rüyanizda kendiniz veya birisi ile matematik problemi çözdügünüzü görmek, bütün pürüzlü islerinizi yoluna koyacaginiza isarettir.
  2. Mustafa Kemal Atatürk ve Matematik

    Mustafa Kemal Atatürk ve Matematik

    Selam kızlar Mustafa Kemal Atatürk ve Matematik sevgisi hakkında bilgisi olan var mı
  3. Atatürk ve Matematik

    Atatürk ve Matematik

    atatürkün matematik alanında yaptığı yenilikler nelerdir Atatürk ve Matematik Atatürk'ün Matematiğe Verdiği Önem Ulu Önder Mustafa Kemal Atatürk'ün metematik sevgisi ve yenilikleri hakkında neler biliyorsunuz bilmiyoruz ama eminiz ki bu yazımızdan sonra herşeyi bileceksiniz Melek'ler. Çünkü Atatürk ve metematik hakkında bilgiler paylaşıyoruz. Ilkokullar da ögretildigi gibi Atatürk’ün...
  4. matematik

    matematik

    bir defterin parası ile 4 kalem,1 kalemin parası ile 10 tane sakız alınabiliyor.1 kalemle 1 sakızın toplam fiyatı 88Kr tur.buna göre bir defterin fiyatı kaç Kr dir
  5. matematik

    matematik

    matematiği nasıl seveceğim?

Sayfayı Paylaş