1. Bilge Gökçen

    Bilge Gökçen Yeni Üye Üye

    Kayıt:
    27 Ağustos 2007
    Mesajlar:
    11.882
    Beğenilen Mesajlar:
    117
    Ödül Puanları:
    0

    Matematik ve Hata

    Konu, 'Kitap Kurdu' kısmında Bilge Gökçen tarafından paylaşıldı.

    < Konu Resmi..>

    Eminim ki bir çoğunuz, lokantada içtikleri çorba sonrasında hesabı karıştıran üç kişinin macerasını duymuşsunuzdur.

    Üç arkadaş lokantaya girerler ve garsondan çorba isterler. Çorbalarını içtikten sonra sıra hesap ödemeye gelir. Hesabı ödemek için herkes onar lira verir. Garson para üstü olarak beş lira getirir. İki lirasını garsona bahşiş olarak bırakan üçlü, birer liralarını ceplerine atarlar. Sonra yaptıkları hesapta ise, çorbalara dokuzar lira ve garsona iki lira verdiklerini, bu paranın toplamının 29 lira olduğunu görürler. Peki o zaman bir lira nerededir?

    Problemin bu şekildeki çözümünde bir sorun olduğu ortada. Peki ama sorun nerede?
    3 çorbanın 25 liraya mal olduğu düşünüldüğünde, çorba fiyatının 25/3=8.3333... olduğu görülebilir. Lokanta sahibinin çorba fiyatı olarak neden bir devirli sayı kullandığı başka bir sorun belki ama biz bununla ilgilenmiyoruz. Gelen para üstünün tam olarak paylaşımı için iki lirayı garsona bahşiş vermeleri ve geriye kalan 3 lirayı da paylaşmaları sonucunda lokantaya gitmek çorbacı üçlünün her birine 9 liraya mal olmuştur. Ceplerine attıkları birer lira hesaba katıldığında hesap tamamdır. O halde problemin yukarıdaki biçimiyle hata nerededir.


    Hata garsona bırakılan bahşiş ile birlikte kişi başına 9 liraya mal olan hesabı, yanlış kurarak çözmeye çalışmadadır yani problemin kurulmasında bir ALDATMACA söz konusudur. Ceplerinde bulunan üç lira yerine, hesaba katılan garson bahşişi iki lirayı toplama katma ile bir yanlışlık yapılmaktadır. Matematikte problemi yanlış kurarak buna benzer birçok hata yapılabilir. Böylesi aldatmacaların dışında matematik ve hata ayrılmaz bir ikili oluştururlar. Matematik doğası gereği hata yapmaya çok elverişlidir.

    Matematiksel hatalar, çoğu zaman matematiğe ve onun araçlarına yabancı olanlarca yapılsa da, tanınan matematikçilerinde hata yaptığı görülür. Özellikle sonsuz seriler, sonsuz çarpımlar, < Konu Resmi..>
    kavram ve simgelerin yeni kullanıldığı ve üzerlerinde çalışmaların yapıldığı dönemde bu hatalara daha çok rastlanılır.

    Piza`li Papaz ve matematikçi Guido Grandi (1671-1742), gül ve çiçeklere benzeyen eğriler üzerinde çalıştı. n pozitif bir sayı olmak üzere, kutupsal koordinatlara göre denklemi r=asinnx ve r=acosnx olan eğriler, "Grandi`nin gülleri" olarak bilinir.

    Grandi, 1-1+1-1+1… sonsuz serisinin toplamı konusunda Alman düşünür Leibniz`le yazışmıştı. Grandi bu yazışmalarda, bu sonsuz toplamda terimleri ikililer halinde birleştirerek
    (1-1)+(1-1)+….​
    şeklinde sıfır elde ediyordu. 1/(x+1) fonksiyonunun sentetik bölümünden bulunan
    < Konu Resmi..>

    sonsuz serisinde x=1 konulduğunda aynı sonsuz toplam 1/2 oluyordu.
    Böylece, Grandi
    1-1+1-1+……=1/2
    sonucuna ulaşan eşitliğin, Hıristiyanlığın gizemiyle kıyaslanacak bir paradoks oluşturduğunu öne sürüyordu.
    Benzer şekilde, 1/(x+1) fonksiyonunun integralini düşünerek, Leibniz ve Jean Bernoulli (l667-1748), negatif sayıların logaritması üzerine yazıştılar. 1/(x+1) fonksiyonunun integrali alınarak

    < Konu Resmi..>

    elde edilen

    < Konu Resmi..>


    serisi, x < -1 değerleri için ıraksak olduğundan, Leibniz negatif sayıların logaritmasının olmadığını ileri sürüyordu; ama Bernoulli logaritma fonksiyonu grafiğinin y-eksenine göre simetrik olduğunu ve

    < Konu Resmi..>


    özelliğinin sağlandığını söyleyerek, ln(-x)=ln(+x) eşitliğinin doğruluğuna inanıyordu.
    Negatif sayıların logaritmasının doğası, bu iki yazışmada da çözülemedi. Jean Bernoulli, 18. yüzyılın ilk yarışında ki yazışmalarında bu konudaki çalışmalara teşvikini sürdürdü. 1748 yılında ölümünden bir süre önce, öğrencisi Euler (1707-1783), negatif sayıların logaritmasını da içeren bir çok analiz konularında çözümleri ortaya koyuyordu.
    ln(-x)=ln(+x) eşitliği, Euler`le aynı yıl ölen , Fransız matematikçi Jean LeRond d`Alembert’i de meşgul etti. Euler, Berlin`de çalışmalarını sürdürüyor iken, d`Alembert (1707-1783) Paris`te idi. Aralarında bu konuyla ilgili yazıştılar. Bu yazışmaların birinde, Euler, Jean Bernoulli`nin ortaya attığı

    < Konu Resmi..>


    çıkarımı da dahil olmak üzere, negatif sayıların logaritmasının konumunu doğru olarak d`Alembert`e yazıyordu. Daha önce Euler`in öne sürdüğü,


    formülüne yabancı olmayan, Jean Bernoulli ve diğer matematikçilere sonuç aşikar görünüyordu. Bu özellik -radyan ölçümünde- bütün açılar için doğruydu.

    < Konu Resmi..>
    alındığında, < Konu Resmi..>
    olarak bulunuyordu, böylece de < Konu Resmi..>
    eşitliği doğrulandı. Negatif sayıların logaritması, Bernoulli ve d`Alembert`in düşündüğü gibi gerçek değil sanal formdaydı.

    Fransız matematikçi Leonard Euler, problemlere yaklaşımı ve çözümlerinde kullandığı yöntemle, yaşadığı dönemde en çok eleştirilere uğrayan matematikçi oldu. Özellikle sonsuz toplam ve çarpımlarda, problemin tehlikelerine aldırış etmeden hareket ediyordu. Sonsuz serilerle ilgili işlemleri büyük bir serbestlikle ele aldı.

    < Konu Resmi..>


    açılımından, x=1 alarak

    < Konu Resmi..>


    sonucuna ulaştı, buradan da

    < Konu Resmi..>


    elde ediyordu.

    Euler`in "Introductio" adlı eseri böyle serilerle ve sonsuz çarpımlarla doludur.

    < Konu Resmi..>

    ve
    < Konu Resmi..>


    bunlardan bazılarıdır.

    Euler, sonsuz serilerin toplamında

    < Konu Resmi..>

    < Konu Resmi..>


    gibi bir hata yaparak

    < Konu Resmi..>

    ve
    < Konu Resmi..>


    eşitliklerini yazıyor, bu iki eşitliğin toplamlarını alarak ta
    < Konu Resmi..>


    gibi kabul edilemez bir hata yapıyordu.

    Matematik tarihi boyunca belki de en ilginç hatayı İngiliz matematikçi Wiliam Shanks yapmıştır. Shanks 20 yıl boyunca yaptığı hesaplamalar sonrası p sayısını 707. ondalık basamağa kadar buldu; ama 528. basamakta, ancak 1945 yılında keşfedilen, bir hata yapmıştı.

    Bir matematik probleminin çözümünde şekil hataları, işlem hataları, varsayımların eksik olması, tanımların ya da önermelerin yanlış ya da eksik kullanımı, problemin çözümünün yanlış olmasına neden olurlar.

    * Bu yazı Nurettin Çalışkan`ın geçen ay Pan Yayınevi`nden yayımladığı Matematik ve Hata adlı kitabın önsözüdür.


     
Matematik ve Hata konusuna benzer diğer içeriklerimiz
  1. edep ve haya!

    edep ve haya!

    edep ve haya ile ilgili hadisler edep ve haya ile ilgili hikayeler hikayeler kıssalar Şöyle düşündüm ki kendi kendime, Ne edepsizlik ettim efendime? Üstadımı mahrum ettim yemekten, Bela eksik olmaz edepsizlerden. Evliya sohbeti keskin bıçaktır, Edepte bir kusur feyze hicaptır. Toplumun içinde ayıplanırsın, Hak katında dahi, mahcup olursun. Edep süsler bulunduğu yerleri, Edepli olanın...
  2. Matematik

    Matematik

    Hesap öğreticisi görmek hayır ve şerrin fazlalaşmasına, tefrikaya; Bazen bu rüya akla ve hikteme, Matematik öğrenmek ise akıllı ve hikmet ehli biri olmaya delalet eder.Kişinin hayatının akışı ile ilgili bilgiler verir.Rüyanizda kendiniz veya birisi ile matematik problemi çözdügünüzü görmek, bütün pürüzlü islerinizi yoluna koyacaginiza isarettir.
  3. Matematikle İlgili Komik ve Anlamlı Sözler

    Matematikle İlgili Komik ve Anlamlı Sözler

    matematikle ilgili sözler matematikle ilgili komik sözler Okul yıllarında en sevilmeyen ders diye kime sorsanız hepsi aynı şeyi söyler melekler, matematik :) Oysa şahsen matematik en sevdiğim derstir. Tabi ki istisnalar kaideyi bozmaz ve sevilmeyen ders matematikle ilgili geyikler de bitmez :D:D Biz bu yazımızda kimisi komik kimisi çok anlamlı ve düşündürücü matematikle ilgili sözler...
  4. matematik

    matematik

    bir defterin parası ile 4 kalem,1 kalemin parası ile 10 tane sakız alınabiliyor.1 kalemle 1 sakızın toplam fiyatı 88Kr tur.buna göre bir defterin fiyatı kaç Kr dir
  5. matematik

    matematik

    matematiği nasıl seveceğim?

Sayfayı Paylaş